Sebenlumnya kita telah mempelajari tentang operasi hitung bentuk aljabar tapi masih ada yang ketinggalan satu ya? gw belum nulis tentang perpangkatan bentuk aljabar. Baiklah ayo kita langsung mulai.
Perpangkatan bentuk aljabar
Seperti yang sudah kita ketahui operasi perpangkatan pada bilangan bulat di artikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama untuk sembarang bilangan bulat a berlaku:
Pda perpangkatan bentuk aljabar suku satu perlu di perhatikan perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3a2 = 3 x x x x = 3a2
b. (3a)2 = (3x) x (3x) = 9a2
c. -(3a)2= - ((3x) x (3x)) =- 9a2d. (-3a)2= (-3x) x (-3x) = 9a2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut.
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1
Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli. Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.
Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).
Contoh
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.
Contoh
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 5ab + 10b c. –15p2q2 + 10pq
b. 2x – 8x2y d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3
Jawab:
a. 5ab + 10b
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.
Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).
b. 2x – 8x2y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x.
Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy).
c. –15p2q2 + 10pq
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq.
Jadi, –15p2q2 + 10pq = 5pq (–3pq + 2).
. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3
Faktor persekutuan dari 1/2 dan 1/4 adalah 1/4.
Faktor persekutuan dari a3b2 adalah a2b3 adalah a2b2.
Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)
Selisih Dua Kuadrat
Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).
Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Contoh:
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. p2 – 4 c. 16 m2 – 9n2
b. 25x2 – y2 d. 20p2 – 5q2
Jawab:
a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2)
b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y)
c. 16m2 – 9n2 = (4m + 3n)(4m – 3n)
d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)
Pemfaktora Bentuk Kuadrat
a. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + qx + px + pq
= x2 + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.
Contoh:
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
a. x2 + 5x + 6 b. x2 + 2x – 8
Jawab:
a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)
Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5. Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3. Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
b. x2 + 2x – 8 = (x + …) (x + …)
Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.
Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu daridua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan –2 + 4 = 2. Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)
b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3
= 2x2 + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3 (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
= (2x2 + x) + (6x + 3)
= x(2x + 1) + 3(2x + 1) (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
= (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif
Contoh
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. 2x2 + 11x + 12 b. 6x2 + 16x + 18
Hawab:
a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12
= (2x2 + 3x) + (8x + 12)
= x(2x + 3) + 4(2x + 3)
= (x + 4)(2x + 3)
Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).
b. 6x2 + 16x + 8 = 6x2 + 4x + 12x + 8
= (6x2 + 4x) + (12x + 8)
= 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)
= (2x + 4)(3x + 2)
Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)
Bila teman2 menggunakan rumus abc (rumus kuadreat). Dengan syarat determinan (D) harus ≥ 0
Dimana D = b2 − 4ac
Faktorisasi: ax2 + bx + c = (x ± 1 x ) . (x ± 2 x )
Ada beberapa catatan:
1. Kalau didapatkan 1 x atau 2 x bernilai positif maka di dalam persamaan menjadi x - 1 x
atau x - 2 x
2. Kalau didapatkan 1 x atau 2 x bernilai negatif maka di dalam persamaan menjadi x + 1 x
atau x + 2 x
3. Kalau didapatkan 1 x atau 2 x berbentuk pecahan maka di dalam persamaan sbb: x = 3/2
maka 3x2 = 2 lalu 3x2 - 2 = 0 ; di dalam persamaan menjadi 3x – 2Pecahan Dalam Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh 
2. Perkalian dan pembagian bentuk aljabar
A. Perkalian
Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu
Contoh:
B. Pembagian
Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan biasa, yaitu :
Contoh
C. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
untuk a bilangan riil dan n bilangan asli, berlaku:
Contoh
4. Penyederhanaan pecahan bentuk aljabar
Pecahan tersusun adalah suatu pecahan yang pembilang dan penyebutnya atau kedua duanya masih memuat pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan KPK dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada penyebut pecahan bersusun.
a.
Untuk menyederhanakan bentuk
, tentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya.Kemudian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan tersebut.
Faktor persekutuan dari 5x dan 10 adalah 5.
Jadi,
b.
Faktor persekutuan dari 9p dan 27q adalah 9.
Jadi,
c.
Untuk menyederhanakan bentuk
tentukan faktor penyebutnya sehingga
Jadi,
Contoh:
Hoho selesai juga akhirnya postingan tentang faktorisasi aljabar, semoga bisa bermanfaat Terima kasih sudah membaca blog ini. Keep your shine and keep your smile guys :)
